Hier lernst Du den Satz von Gauß kennen und wie Du ihn auf physikalische Probleme anwenden kannst, z.B. in der Elektrostatik. 1 Satz von Gauss in der Ebene. 3. Fluss durch eine Würfeloberfläche. 4. Satz von Gauss im Raum Zylinder. 5. Ohne den Satz von Gauss Zylinder. 2 satz von gauß beispiel Gauß-Integralsatz veranschaulicht. Gauß-Integralsatz 1. Hierbei ist ein beliebiges Volumen, z.B. ein Würfelvolumen oder ein Kugelvolumen. ist dabei die geschlossene (ohne Löcher) Fläche des betrachteten Volumens. Beispielsweise bei einem . 3 Der gaußsche Integralsatz, auch Satz von Gauß-Ostrogradski oder Divergenzsatz, ist ein Ergebnis aus der Vektoranalysis. Er stellt einen Zusammenhang. 4 Satz von Gauß heißen mehrere Sätze in der Mathematik oder Physik: Gaußscher Integralsatz über die Verknüpfung von Volumen- und vektoriellem Flächenintegral. Satz von Gauß über das vollständige Vierseit. Gaußsches Gesetz über den elektrischen Fluss durch eine geschlossene Fläche. Satz von Gauß-Markow oder lediglich Satz von Gauß. 5 Gauß-Integralsatz veranschaulicht. Gauß-Integralsatz 1 Hierbei ist ein beliebiges Volumen, z.B. ein Würfelvolumen oder ein Kugelvolumen. ist dabei die geschlossene (ohne Löcher) Fläche des betrachteten Volumens. Beispielsweise bei einem Würfelvolumen ist es die Fläche des Würfels. 6 satz von gauß elektrisches feld ~nodA = ZZZ (P x(x,y) +Q y(x,y) +Q y(x,y) | {z } Divergenz div(−→ F))dxdydz A V −→ F (x,y) = (P(x,y),Q(x,y),R(x,y))T Gegeben ist . 7 Volumenberechnung mit dem Satz von Gauˇ 3vol(V) = ZZ S ~rdS~= ZZ S r idS = r i area(S) Hexaeder mit Kantenl age a: Ober ache 6 a2, Inkugelradius a 2, Volumen a 3 = (6a2 a=2)=3 Tetraeder mit Kantenl age a: Ober ache 4 1 2 p 3a2 2 = a 2 p 3, Volumen p 2a3 12 Inkugelradius p 6a 12 Kugel (Grenzfall): Volumen 4ˇr3 3, Ober ache 4 ˇr2 korrektes. 8 Aufgabenstellung: Gegeben ist ein Zylinder mit der Höhe und dem Radius (siehe Abbildung). Berechne den Fluss nach außen durch die Oberfläche des Zylinders, der sich aufgrund des Vektorfeldes einstellt. Nutze den Satz von Gauß. 9 ↑ Satz von Gauss im Raum) A −→oFndA=Z (Px(x, y) +Qy(x, y) +Qy(x, y) DivergenzV zdiv(−→F) −→ Gegeben ist das VektorfeldF=(x3,−y, z)T. dx dy dz −→ F(x, y) =(P(x, y), Q(x, y), R(x, y))T Es soll der Fluss durch die Oberfl¨acheAeines Zylinders mitR= 2 undH= 5 berechnet werden. x −→F)dxdy dz=Z div(y 3x2dxdy dzZylinderkoordinaten= = 3 2π25ZZZ integralsatz von gauß beispiel 10 Der Satz von Gauß, auch Gaußsche Gesetz oder Gaußscher Satz genannt, ein Zylinder oder eine beliebige Form gemacht wird. 11